[대학생 수학경시대회] 2019년 제2분야 7번

7. 벡터 \( v_1, v_2, v_3, v_4 \)는 길이가 각각 2, 3, 4, 5이며 서로 수직이다. 임의의 2차원 부분공간 \( W \subset \mathbb{R}^4 \)에 대하여 \( v_1, v_2, v_3, v_4 \)를 \( W \)에 정사영하여 얻은 벡터들 가운데 적어도 하나는 길이가 1이 아님을 보여라.

 

Sol) 

일반성을 잃지 않고 \( v_1 = 2e_1, v_2 = 3e_2, v_3 = 4e_3, v_4 = 5e_4 \)라 하자. 그리고 선형사상 T를 Tv = (v의 W 위로의 정사영)으로 잡는다. 이제 네 정사영의 길이가 모두 1이라 가정하면 

$$ \left\langle e_1, Te_1 \right\rangle = {1 \over 4}, \left\langle e_2, Te_2 \right\rangle = {1 \over 9}, \left\langle e_3, Te_3 \right\rangle = {1 \over 16}, \left\langle e_4, Te_4 \right\rangle = {1 \over 25} $$

를 얻는다. 한편 표준기저 \( \beta \)에 대하여, \( \left\langle e_1, Te_1 \right\rangle \)는 \( \left[ T \right]_\beta \)의 (i, i)-성분에 해당하므로 

$$ \operatorname{tr} T = {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over 16} + {1 \over 25} $$

를 얻는다. 그러나 T는 4차원 벡터의 2차원 부분공간으로의 정사영의 일종으로, \(W\) 위의 두 선형독립인 고유벡터 \( w_1, w_2 \)와 \(W^{\perp}\) 위의 두 선형독립인 고유벡터 \( w_3, w_4 \)에 대해

$$ Tw_1 = w_1, Tw_2 = w_2, Tw_3 = 0, Tw_4 = 0 $$

이므로 \( \operatorname{tr} T \)의 값은 모든 고유치의 합인 2이다. 여기에서 모순을 얻는다.