[대학생 수학경시대회] 2019년 제2분야 7번

7. 벡터 $v_1,v_2,v_3,v_4$는 길이가 각각 2, 3, 4, 5이며 서로 수직이다. 임의의 2차원 부분공간 $W\subset {\mathbb{R}}^4$에 대하여 $v_1,v_2,v_3,v_4$를 $W$에 정사영하여 얻은 벡터들 가운데 적어도 하나는 길이가 1이 아님을 보여라.

 

Sol) 

일반성을 잃지 않고 $v_1=2e_1,v_2=3e_2,v_3=4e_3,v_4=5e_4$라 하자. 그리고 선형사상 T를 Tv = (v의 W 위로의 정사영)으로 잡는다. 이제 네 정사영의 길이가 모두 1이라 가정하면 

$$⟨e_1,T{e}_1⟩=\frac{1}{4},⟨e_2,T{e}_2⟩=\frac{1}{9},⟨e_3,T{e}_3⟩=\frac{1}{16},⟨e_4,T{e}_4⟩=\frac{1}{25}$$

를 얻는다. 한편 표준기저 $\beta$에 대하여, $⟨e_1,T{e}_1⟩$는 ${\left[T\right]}_{\beta }$의 (i, i)-성분에 해당하므로 

$$\mathrm{tr}T=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}$$

를 얻는다. 그러나 T는 4차원 벡터의 2차원 부분공간으로의 정사영의 일종으로, $W$ 위의 두 선형독립인 고유벡터 $w_1,w_2$와 $W^{\perp }$ 위의 두 선형독립인 고유벡터 $w_3,w_4$에 대해

$$T{w}_1=w_1,T{w}_2=w_2,T{w}_3=0,T{w}_4=0$$

이므로 $\mathrm{tr}T$의 값은 모든 고유치의 합인 2이다. 여기에서 모순을 얻는다.