[대학생 수학경시대회] 2021년 제2분야 7번

 

7. 실수 \(a, b\)에 대하여 행렬 \(A\)를 다음과 같이 정의하자.

$$ A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & b \end{pmatrix} $$

이때 행렬 \(A\)가 양의 정부호(positive definite)일 필요충분조건은 \(a > 1\)이고 \(b > 1\)임을 보여라.

 

Sol)

\( (\Leftarrow) \) 행렬 \(J\)를 모든 성분이 \(1\)인 \(4 \times 4\) 행렬이라 하고, 대각행렬 \( D \)를 \( D = A - J \)라 하자. 그러면 \( D \)는 모든 대각성분이 양수인 대각행렬이므로 자명히 양의 정부호이고, 행렬 \(J\)는 대각화하여

$$ J = QEQ^{-1} $$

$$ Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$

$$ E = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

인 실대칭행렬이므로 \( J \) 역시 양의 반-정부호(positive semidefinite) 행렬이라는 사실을 얻는다. 따라서 모든 벡터 \(v\)에 대해

$$ \left\langle v, Dv \right\rangle > 0, \left\langle v, Jv \right\rangle \geq 0 $$

이므로 이 둘을 더하면 원하는 결과를 얻는다.

\( (\Rightarrow) \) \(a, b\) 둘 중 하나라도 \(1\) 이하이면 \(A\)가 양의 정부호가 아님을 보이자. 먼저 \(a\)가 \(1\) 이하이면, 다음 벡터

$$ v = \left( 1, 0, -1, 0 \right) $$

에 대하여 \(\left\langle v, Av \right\rangle \leq 0\)을 얻는다. 이는 \(Jv = 0\)이고 \(Dv = (a - 1)v\)라는 사실로부터 자명하다. 다음으로 \(b\)가 \(1\) 이하이면, 다음 벡터

$$ v = \left( 0, 1, 0, -1 \right) $$

가 같은 역할을 한다.