[대학생 수학경시대회] 2021년 제2분야 7번

 

7. 실수 $a,b$에 대하여 행렬 $A$를 다음과 같이 정의하자.

$$A=\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 1& 1\\ 1& b& 1& 1\\ 1& 1& a& 1\\ 1& 1& 1& b\end{array}\right)$$

이때 행렬 $A$가 양의 정부호(positive definite)일 필요충분조건은 $a>1$이고 $b>1$임을 보여라.

 

Sol)

$(\Leftarrow )$ 행렬 $J$를 모든 성분이 $1$인 $4\times 4$ 행렬이라 하고, 대각행렬 $D$를 $D=A-J$라 하자. 그러면 $D$는 모든 대각성분이 양수인 대각행렬이므로 자명히 양의 정부호이고, 행렬 $J$는 대각화하여

$$J=QE{Q}^{-1}$$

$$Q=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 0& 0\\ 1& 0& -1& 0\\ 1& 0& 0& -1\end{array}\right]$$

$$E=\left[\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

인 실대칭행렬이므로 $J$ 역시 양의 반-정부호(positive semidefinite) 행렬이라는 사실을 얻는다. 따라서 모든 벡터 $v$에 대해

$$⟨v,Dv⟩>0,⟨v,Jv⟩\ge 0$$

이므로 이 둘을 더하면 원하는 결과를 얻는다.

$(\Rightarrow )$ $a,b$ 둘 중 하나라도 $1$ 이하이면 $A$가 양의 정부호가 아님을 보이자. 먼저 $a$가 $1$ 이하이면, 다음 벡터

$$v=(1,0,-1,0)$$

에 대하여 $⟨v,Av⟩\le 0$을 얻는다. 이는 $Jv=0$이고 $Dv=(a-1)v$라는 사실로부터 자명하다. 다음으로 $b$가 $1$ 이하이면, 다음 벡터

$$v=(0,1,0,-1)$$

가 같은 역할을 한다.