[대학생 수학경시대회] 2014년 제1분야 8번

8. 양의 무리수 $\alpha$에 대하여 수열 ${\left\{q_n\right\}}_{n\ge 1}$을

$$q_n=\frac{[n\alpha ]}{n}$$

로 정의하면 수열 ${\left\{q_n\right\}}_{n\ge 1}$ 은 단조증가수열이 아님을 보여라.

 

Sol)

일반성을 잃지 않고 $0<\alpha <1$이라 하자. $[k\alpha ]=[(k+1)\alpha ]$인 $k$가 존재함을 보이자.

먼저 $\alpha <1-{10}^{-l}$이 되도록 자연수 $l$을 잡는다. 주어진 수식의 우변이 1로 단조증가수렴하므로 언제나 그렇게 할 수 있다. 그렇다면

$${10}^l\alpha <{10}^l-1\mathrm{and}{10}^l-1\in \mathbb{N}$$

으로부터

$$\left[{10}^l\alpha \right]<{10}^l-1$$

을 얻는다. 수열 $\left\{\left[n\alpha \right]\right\}$은 감소하지 않는 수열이므로, 비둘기집의 원리에 따라, 다음 수들

$$[\alpha ],[2\alpha ],\cdots ,[{10}^l\alpha ]$$

중 최소 2개가 겹친다는 결론을 얻는다. 따라서 우리는 $[k\alpha ]=[(k+1)\alpha ]$인 $k$가 존재한다는 사실을 보였다. 이 $k$에 대해서 $q_k>q_{k+1}$이 성립한다는 사실은 자명하다.