[대학생 수학경시대회] 2014년 제1분야 8번

8. 양의 무리수 \( \alpha \)에 대하여 수열 \( \left\{ q_n \right\}_{n \geq 1} \)을

$$ q_n = {[n \alpha] \over n} $$

로 정의하면 수열 \( \left\{ q_n \right\}_{n \geq 1} \) 은 단조증가수열이 아님을 보여라.

 

Sol)

일반성을 잃지 않고 \( 0 < \alpha < 1 \)이라 하자. \( [k \alpha] = [(k + 1) \alpha] \)인 \( k \)가 존재함을 보이자.

먼저 \( \alpha < 1 - 10^{-l} \)이 되도록 자연수 \( l \)을 잡는다. 주어진 수식의 우변이 1로 단조증가수렴하므로 언제나 그렇게 할 수 있다. 그렇다면

$$ 10^l \alpha < 10^l - 1 \operatorname{and} 10^l -1 \in \mathbb{N} $$

으로부터

$$ \left[ 10^l \alpha \right] < 10^l - 1 $$

을 얻는다. 수열 \( \left\{ \left[ n \alpha \right] \right\} \)은 감소하지 않는 수열이므로, 비둘기집의 원리에 따라, 다음 수들

$$ [\alpha], [2\alpha], \cdots, [10^l \alpha] $$

중 최소 2개가 겹친다는 결론을 얻는다. 따라서 우리는 \( [k \alpha] = [(k + 1) \alpha] \)인 \( k \)가 존재한다는 사실을 보였다. 이 \( k \)에 대해서 \( q_k > q_{k + 1} \)이 성립한다는 사실은 자명하다.