[대학생 수학경시대회] 2015년 제2분야 8번

임의의 i, j에 대해, 행렬 $X$와, $X$와 관련 없는 임의의 행렬 $A$에 대해

$$\frac{\partial }{\partial x_{ij}}X=E_{ij},\frac{\partial }{\partial x_{ij}}A=O$$

이다. 여기서 $E_{ij}$는 (i, j)-성분만 1이고 나머지 성분은 0인 행렬이고, $O$는 영행렬이다. 따라서 곱의 미분법에 의해

$$O=\frac{\partial }{\partial x_{ij}}I=\frac{\partial }{\partial x_{ij}}XY=E_{ij}Y+X\frac{\partial }{\partial x_{ij}}Y$$

로부터

$$\frac{\partial }{\partial x_{ij}}Y=-Y{E}_{ij}Y$$

를 얻는다. 이 식을 풀면 구하고자 하는 식을 얻을 수 있다.