본문 바로가기

수학9

[대학생 수학경시대회] 2011년 제2분야 2번 2. 임의의

n \times n

A

det (\begin{matrix} A & A^{2} \\ A^{3} & A^{4} \end{matrix}) = 0

임을 보여라. (단,

A

의 모든 성분은 실수이다.) Sol) 주어진 행렬을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

(\begin{matrix} A & A^{2} \\ A^{3} & A^{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} I \\ A^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} A & A^{2} \end{matrix})

따라서 주어진 행렬은

2 n \times 2 n

행렬이지만 그 rank가

n

이하이므로 행렬식이

0

이다. 2022. 9. 14.

[대학생 수학경시대회] 2016년 제1분야 4번/제2분야 5번 연속함수

f : [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}] \to [- 1, 1]

(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})

에서 미분가능할 때, 다음 부등식을 만족하는 점

x_{0}

(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})

에 존재함을 보여라.

| f^{'} (x_{0}) | \leq 1 + f (x_{0})^{2}

Sol) 먼저 함수는 단조증가함수 또는 단조감소함수가 아니라면

f^{'} (x_{0}) = 0

을 만족하는 점이 적어도 하나는 존재하게 된다. 그리고 이 점에 대해 부등식이 자동으로 성립.. 2022. 9. 14.

[대학생 수학경시대회] 2020년 제1/2분야 4번 4. 다음 극한값을 구하여라.

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} x}{1 + \cos^{2} n x} d x

Sol) 먼저, 대칭성에 의해 주어진 식이

\frac{1}{2} lim_{n \to \infty} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} x}{1 + \cos^{2} n x} d x

와 같음을 관찰한다. 복소수

x

\cos^{2} x = \frac{1}{4} (e^{2 i x} + e^{- 2 i x} + 2)

z = e^{2 i x}

로 치환하면 $$ {{1} \over {2}} \int_0^{\pi} {{\cos^.. 2022. 9. 3.

[대학생 수학경시대회] 2021년 제2분야 7번 7. 실수

a, b

에 대하여 행렬

A

를 다음과 같이 정의하자.

A = (\begin{matrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & b \end{matrix})

A

가 양의 정부호(positive definite)일 필요충분조건은

a > 1

b > 1

임을 보여라. Sol)

(\Leftarrow)

J

를 모든 성분이

1

4 \times 4

행렬이라 하고, 대각행렬

D

D = A - J

라 하자. 그러면

D

는 모든 대각성분이 양수인 대각행렬이므로 자명히 양의 정부호이고, 행렬

J

는 대각화하여 $$.. 2022. 9. 2.

[대학생 수학경시대회] 2015년 제2분야 8번 임의의 i, j에 대해, 행렬

X

X

와 관련 없는 임의의 행렬

A

\frac{\partial}{\partial x_{i j}} X = E_{i j}, \frac{\partial}{\partial x_{i j}} A = O

이다. 여기서

E_{i j}

는 (i, j)-성분만 1이고 나머지 성분은 0인 행렬이고,

O

는 영행렬이다. 따라서 곱의 미분법에 의해

O = \frac{\partial}{\partial x_{i j}} I = \frac{\partial}{\partial x_{i j}} X Y = E_{i j} Y + X \frac{\partial}{\partial x_{i j}} Y

로부터 $$ {\partial \over \parti.. 2022. 8. 29.

[대학생 수학경시대회] 2014년 제1분야 8번 8. 양의 무리수

α

에 대하여 수열

{q_{n}}_{n \geq 1}

q_{n} = \frac{[n α]}{n}

로 정의하면 수열

{q_{n}}_{n \geq 1}

은 단조증가수열이 아님을 보여라. Sol) 일반성을 잃지 않고 \( 0 2022. 8. 29.

[대학생 수학경시대회] 2017년 제1분야 6번 주어진 조건만으로 생각보다 A에 대해 많은 것을 알 수 있는 문제입니다... 2022. 8. 29.

[대학생 수학경시대회] 2019년 제2분야 7번 7. 벡터

v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}

는 길이가 각각 2, 3, 4, 5이며 서로 수직이다. 임의의 2차원 부분공간

W \subset R^{4}

v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}

W

에 정사영하여 얻은 벡터들 가운데 적어도 하나는 길이가 1이 아님을 보여라. Sol) 일반성을 잃지 않고

v_{1} = 2 e_{1}, v_{2} = 3 e_{2}, v_{3} = 4 e_{3}, v_{4} = 5 e_{4}

라 하자. 그리고 선형사상 T를 Tv = (v의 W 위로의 정사영)으로 잡는다. 이제 네 정사영의 길이가 모두 1이라 가정하면 $$ \left\langle e_1, Te_1 \right\rangle = {1 \over 4}, \left\langle e_2, Te.. 2022. 8. 28.

[대학생 수학경시대회] 2021년 제2분야 6번 대한수학회에서 공식 제공하는 대학생 수학경시대회의 해설은 깔끔한 풀이보다는 색다른 풀이를 선호하는 경우가 많다. 그래서 여러 가지 방법으로 풀 수 있는 문제들에 대해서는 여러 풀이를 알아두는 것이 좋다. '행렬의 고유벡터는 그 행렬을 설명하는 특성 중 하나다'를 잘 나타내주는 문제라고 생각한다. 2022. 8. 28.

이전 1 다음

티스토리툴바