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수학9

[대학생 수학경시대회] 2011년 제2분야 2번 2. 임의의 \( n \times n \) 행렬 \( A \)에 대하여, $$ \det \begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^3 & A^4 \end{pmatrix} = 0 $$ 임을 보여라. (단, \( A \)의 모든 성분은 실수이다.) Sol) 주어진 행렬을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. $$ \begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^3 & A^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I \\ A^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & A^2 \end{pmatrix} $$ 따라서 주어진 행렬은 \( 2n \times 2n \) 행렬이지만 그 rank가 \( n \) 이하이므로 행렬식이 \( 0 \)이다. 2022. 9. 14.
[대학생 수학경시대회] 2016년 제1분야 4번/제2분야 5번 연속함수 \( f : \left[ -{\pi \over 4}, {\pi \over 4} \right] \rightarrow \left[ -1, 1 \right] \)가 구간 \( \left(-{\pi \over 4}, {\pi \over 4} \right) \)에서 미분가능할 때, 다음 부등식을 만족하는 점 \( x_0 \)가 구간 \( \left(-{\pi \over 4}, {\pi \over 4} \right) \)에 존재함을 보여라. $$ \left| f'(x_0) \right| \leq 1 + f(x_0)^2 $$ Sol) 먼저 함수는 단조증가함수 또는 단조감소함수가 아니라면 \( f'(x_0) = 0 \)을 만족하는 점이 적어도 하나는 존재하게 된다. 그리고 이 점에 대해 부등식이 자동으로 성립.. 2022. 9. 14.
[대학생 수학경시대회] 2020년 제1/2분야 4번 4. 다음 극한값을 구하여라. $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\pi \over 2} {{\cos^2 x} \over {1 + \cos^2 nx}} dx $$ Sol) 먼저, 대칭성에 의해 주어진 식이 $$ {{1} \over {2}} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\pi} {{\cos^2 x} \over {1 + \cos^2 nx}} dx $$ 와 같음을 관찰한다. 복소수 \( x \)에 대해 $$ \cos^2 x = {1 \over 4} \left( e^{2ix} + e^{-2ix} + 2 \right) $$ 이므로, \( z = e^{2ix} \)로 치환하면 $$ {{1} \over {2}} \int_0^{\pi} {{\cos^.. 2022. 9. 3.
[대학생 수학경시대회] 2021년 제2분야 7번 7. 실수 \(a, b\)에 대하여 행렬 \(A\)를 다음과 같이 정의하자. $$ A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & b \end{pmatrix} $$ 이때 행렬 \(A\)가 양의 정부호(positive definite)일 필요충분조건은 \(a > 1\)이고 \(b > 1\)임을 보여라. Sol) \( (\Leftarrow) \) 행렬 \(J\)를 모든 성분이 \(1\)인 \(4 \times 4\) 행렬이라 하고, 대각행렬 \( D \)를 \( D = A - J \)라 하자. 그러면 \( D \)는 모든 대각성분이 양수인 대각행렬이므로 자명히 양의 정부호이고, 행렬 \(J\)는 대각화하여 $$.. 2022. 9. 2.
[대학생 수학경시대회] 2015년 제2분야 8번 임의의 i, j에 대해, 행렬 \( X \)와, \( X \)와 관련 없는 임의의 행렬 \( A \)에 대해 $$ {\partial \over \partial x_{ij}} X = E_{ij}, {\partial \over \partial x_{ij}} A = O $$ 이다. 여기서 \( E_{ij} \)는 (i, j)-성분만 1이고 나머지 성분은 0인 행렬이고, \( O \)는 영행렬이다. 따라서 곱의 미분법에 의해 $$ O = {\partial \over \partial x_{ij}} I = {\partial \over \partial x_{ij}} XY = E_{ij} Y + X {\partial \over \partial x_{ij}} Y $$ 로부터 $$ {\partial \over \parti.. 2022. 8. 29.
[대학생 수학경시대회] 2014년 제1분야 8번 8. 양의 무리수 \( \alpha \)에 대하여 수열 \( \left\{ q_n \right\}_{n \geq 1} \)을 $$ q_n = {[n \alpha] \over n} $$ 로 정의하면 수열 \( \left\{ q_n \right\}_{n \geq 1} \) 은 단조증가수열이 아님을 보여라. Sol) 일반성을 잃지 않고 \( 0 2022. 8. 29.
[대학생 수학경시대회] 2017년 제1분야 6번 주어진 조건만으로 생각보다 A에 대해 많은 것을 알 수 있는 문제입니다... 2022. 8. 29.
[대학생 수학경시대회] 2019년 제2분야 7번 7. 벡터 \( v_1, v_2, v_3, v_4 \)는 길이가 각각 2, 3, 4, 5이며 서로 수직이다. 임의의 2차원 부분공간 \( W \subset \mathbb{R}^4 \)에 대하여 \( v_1, v_2, v_3, v_4 \)를 \( W \)에 정사영하여 얻은 벡터들 가운데 적어도 하나는 길이가 1이 아님을 보여라. Sol) 일반성을 잃지 않고 \( v_1 = 2e_1, v_2 = 3e_2, v_3 = 4e_3, v_4 = 5e_4 \)라 하자. 그리고 선형사상 T를 Tv = (v의 W 위로의 정사영)으로 잡는다. 이제 네 정사영의 길이가 모두 1이라 가정하면 $$ \left\langle e_1, Te_1 \right\rangle = {1 \over 4}, \left\langle e_2, Te.. 2022. 8. 28.
[대학생 수학경시대회] 2021년 제2분야 6번 대한수학회에서 공식 제공하는 대학생 수학경시대회의 해설은 깔끔한 풀이보다는 색다른 풀이를 선호하는 경우가 많다. 그래서 여러 가지 방법으로 풀 수 있는 문제들에 대해서는 여러 풀이를 알아두는 것이 좋다. '행렬의 고유벡터는 그 행렬을 설명하는 특성 중 하나다'를 잘 나타내주는 문제라고 생각한다. 2022. 8. 28.

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