[대학생 수학경시대회] 2020년 제1/2분야 4번

4. 다음 극한값을 구하여라.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\pi \over 2} {{\cos^2 x} \over {1 + \cos^2 nx}} dx $$

 

Sol)

먼저, 대칭성에 의해 주어진 식이 

$$ {{1} \over {2}} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\pi} {{\cos^2 x} \over {1 + \cos^2 nx}} dx $$

와 같음을 관찰한다. 복소수 \( x \)에 대해

$$ \cos^2 x = {1 \over 4} \left( e^{2ix} + e^{-2ix} + 2 \right) $$

이므로, \( z = e^{2ix} \)로 치환하면 

$$ {{1} \over {2}} \int_0^{\pi} {{\cos^2 x} \over {1 + \cos^2 nx}} dx = {1 \over 4i} \int_{\gamma} {{1 + 2z^{-1} + z^{-2}} \over {z^n + z^{-n} + 6}} dz $$

$$ = {1 \over 4i} \int_{\gamma} {{z^n + 2z^{n - 1} + z^{n - 2}} \over {z^{2n} + 6z^n + 1}} dz $$

이다. (단, \(\gamma\)는 단위원) 이 적분은 폐곡선적분으로서 피적분함수는 단위원 내부에서 n개의 특이점을 제외하고 미분가능하므로, 유수 정리를 통해 그 값을 보일 수 있다. 단위원 내부의 특이점을 찾기 위해 방정식

$$ z^{2n} + 6z^n + 1 = 0 \quad \left( \left| z \right| = 1 \right) $$

을 풀면,

$$ z_i = \sqrt[n]{-3+2\sqrt{2}}e^{2\pi i/ n} $$

을 얻는다. (특히 \( z_i^n = -3+2\sqrt{2} \)이다.) 모든 근은 중복도 1이므로 각각의 근 \(z_i\)에 대하여 그 값에서의 유수를 계산하면,

$$ \operatorname{res}_{z_i} f = \lim_{z \rightarrow z_i} \left( z - z_i \right) {{z^n + 2z^{n - 1} + z^{n - 2}} \over {z^{2n} + 6z^n + 1}} $$

$$ = {{z_i^n + 2z_i^{n - 1} + z_i^{n - 2}} \over {z_i^n - \left( -3-2\sqrt{2} \right)}} \lim_{z \rightarrow z_i} {{z - z_i} \over {z^n - \left(-3+2\sqrt{2} \right)}} $$

이며, 로피탈의 정리에 의해 그 값은

$$ = {{z_i^n + 2z_i^{n - 1} + z_i^{n - 2}} \over {4\sqrt{2}}} \times {1 \over {nz_i^{n - 1}}} $$

$$ = {1 \over 4\sqrt{2}n} \left( z_i + 2 + {1 \over z_i} \right) $$

이다. 마지막으로 단위근의 성질에 의해 

$$ \sum_{i=1}^n z_i = \sum_{i=1}^n {1 \over z_i} = 0 $$

이므로, 구하고자 하는 값은

$$ \int_0^{\pi \over 2} {{\cos^2 x} \over {1 + \cos^2 nx}} dx $$

$$ = {2\pi i \over 4i} \sum_{\left| z \right| < 1} \operatorname{res} {{z^n + 2z^{n - 1} + z^{n - 2}} \over {z^{2n} + 6z^n + 1}} $$

$$ = {2\pi i \over 4i} \times {2n \over 4\sqrt{2}n} $$

$$ = {\pi \over 4\sqrt{2}} $$