[대학생 수학경시대회] 2020년 제1/2분야 4번

4. 다음 극한값을 구하여라.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{2}x}{1+{\cos }^{2}nx}dx$$

 

Sol)

먼저, 대칭성에 의해 주어진 식이 

$$\frac{1}{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\pi }\frac{{\cos }^{2}x}{1+{\cos }^{2}nx}dx$$

와 같음을 관찰한다. 복소수 $x$에 대해

$${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}(e^{2ix}+e^{-2ix}+2)$$

이므로, $z=e^{2ix}$로 치환하면 

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\frac{{\cos }^{2}x}{1+{\cos }^{2}nx}dx=\frac{1}{4i}{\int }_{\gamma }\frac{1+2z^{-1}+z^{-2}}{z^n+z^{-n}+6}dz$$

$$=\frac{1}{4i}{\int }_{\gamma }\frac{z^n+2z^{n-1}+z^{n-2}}{z^{2n}+6z^n+1}dz$$

이다. (단, $\gamma$는 단위원) 이 적분은 폐곡선적분으로서 피적분함수는 단위원 내부에서 n개의 특이점을 제외하고 미분가능하므로, 유수 정리를 통해 그 값을 보일 수 있다. 단위원 내부의 특이점을 찾기 위해 방정식

$$z^{2n}+6z^n+1=0(\left|z\right|=1)$$

을 풀면,

$$z_i=\sqrt[n]{-3+2\sqrt{2}}{e}^{2\pi i/n}$$

을 얻는다. (특히 $z_i^n=-3+2\sqrt{2}$이다.) 모든 근은 중복도 1이므로 각각의 근 $z_i$에 대하여 그 값에서의 유수를 계산하면,

$${\mathrm{res}}_{z_i}f=\underset{z\to z_i}{lim}(z-z_i)\frac{z^n+2z^{n-1}+z^{n-2}}{z^{2n}+6z^n+1}$$

$$=\frac{z_i^n+2z_i^{n-1}+z_i^{n-2}}{z_i^n-(-3-2\sqrt{2})}\underset{z\to z_i}{lim}\frac{z-z_i}{z^n-(-3+2\sqrt{2})}$$

이며, 로피탈의 정리에 의해 그 값은

$$=\frac{z_i^n+2z_i^{n-1}+z_i^{n-2}}{4\sqrt{2}}\times \frac{1}{n{z}_i^{n-1}}$$

$$=\frac{1}{4\sqrt{2}n}(z_i+2+\frac{1}{z_i})$$

이다. 마지막으로 단위근의 성질에 의해 

$$\sum _{i=1}^n{z}_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{z_i}=0$$

이므로, 구하고자 하는 값은

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{2}x}{1+{\cos }^{2}nx}dx$$

$$=\frac{2\pi i}{4i}\sum _{\left|z\right|<1}\mathrm{res}\frac{z^n+2z^{n-1}+z^{n-2}}{z^{2n}+6z^n+1}$$

$$=\frac{2\pi i}{4i}\times \frac{2n}{4\sqrt{2}n}$$

$$=\frac{\pi }{4\sqrt{2}}$$