[대학생 수학경시대회] 2016년 제1분야 4번/제2분야 5번

연속함수 \( f : \left[ -{\pi \over 4}, {\pi \over 4} \right] \rightarrow \left[ -1, 1 \right] \)가 구간 \( \left(-{\pi \over 4}, {\pi \over 4} \right) \)에서 미분가능할 때, 다음 부등식을 만족하는 점 \( x_0 \)가 구간 \( \left(-{\pi \over 4}, {\pi \over 4} \right) \)에 존재함을 보여라.

$$ \left| f'(x_0) \right| \leq 1 + f(x_0)^2 $$

 

Sol)

먼저 함수는 단조증가함수 또는 단조감소함수가 아니라면 \( f'(x_0) = 0 \)을 만족하는 점이 적어도 하나는 존재하게 된다. 그리고 이 점에 대해 부등식이 자동으로 성립함은 자명하다.

그러므로 일반성을 잃지 않고 함수가 단조증가라 가정하자. 먼저 주어진 진술이 거짓이라고 가정하면, 이로부터 구간 내의 모든 실수에 대해

$$ {f'(x) \over 1 + f(x)^2} > 1 $$

가 성립한다는 사실을 얻는다. 양변을 주어진 구간에 대해 적분하면

$$ \int_{-{\pi\over4}}^{\pi\over4} {f'(x) \over 1 + f(x)^2} dx > {\pi\over2} $$

를 얻는데, 좌변은 치환적분을 통해 값을 계산할 수 있고 그 값은

$$ \tan^{-1} f\left({\pi\over4}\right) - \tan^{-1} f\left(-{\pi\over4}\right) $$

이다. 그런데 \( f \)의 함숫값은 \( -1 \) 이상 \( 1 \) 이하이므로 

$$ \tan^{-1} f\left({\pi\over4}\right) - \tan^{-1} f\left(-{\pi\over4}\right) < \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1) = {\pi \over 2} $$

이다. 이로부터 모순을 얻는다.