[대학생 수학경시대회] 2016년 제1분야 4번/제2분야 5번

연속함수 $f:[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]\to [-1,1]$가 구간 $(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})$에서 미분가능할 때, 다음 부등식을 만족하는 점 $x_0$가 구간 $(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})$에 존재함을 보여라.

$$|f^{\prime }(x_0)|\le 1+f(x_0{)}^2$$

 

Sol)

먼저 함수는 단조증가함수 또는 단조감소함수가 아니라면 $f^{\prime }(x_0)=0$을 만족하는 점이 적어도 하나는 존재하게 된다. 그리고 이 점에 대해 부등식이 자동으로 성립함은 자명하다.

그러므로 일반성을 잃지 않고 함수가 단조증가라 가정하자. 먼저 주어진 진술이 거짓이라고 가정하면, 이로부터 구간 내의 모든 실수에 대해

$$\frac{f^{\prime }(x)}{1+f(x{)}^2}>1$$

가 성립한다는 사실을 얻는다. 양변을 주어진 구간에 대해 적분하면

$${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{f^{\prime }(x)}{1+f(x{)}^2}dx>\frac{\pi }{2}$$

를 얻는데, 좌변은 치환적분을 통해 값을 계산할 수 있고 그 값은

$${\tan }^{-1}f\left(\frac{\pi }{4}\right)-{\tan }^{-1}f(-\frac{\pi }{4})$$

이다. 그런데 $f$의 함숫값은 $-1$ 이상 $1$ 이하이므로 

$${\tan }^{-1}f\left(\frac{\pi }{4}\right)-{\tan }^{-1}f(-\frac{\pi }{4})<{\tan }^{-1}(1)-{\tan }^{-1}(-1)=\frac{\pi }{2}$$

이다. 이로부터 모순을 얻는다.