[대학생 수학경시대회] 2011년 제2분야 2번

2. 임의의 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여,

$$det\left(\begin{array}{cc}A& A^2\\ A^3& A^4\end{array}\right)=0$$

임을 보여라. (단, $A$의 모든 성분은 실수이다.)

 

Sol)

주어진 행렬을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$\left(\begin{array}{cc}A& A^2\\ A^3& A^4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}I\\ A^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& A^2\end{array}\right)$$

따라서 주어진 행렬은 $2n\times 2n$ 행렬이지만 그 rank가 $n$ 이하이므로 행렬식이 $0$이다.