[대학생 수학경시대회] 2011년 제2분야 2번

2. 임의의 \( n \times n \) 행렬 \( A \)에 대하여,

$$ \det \begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^3 & A^4 \end{pmatrix} = 0 $$

임을 보여라. (단, \( A \)의 모든 성분은 실수이다.)

 

Sol)

주어진 행렬을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$ \begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^3 & A^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I \\ A^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & A^2 \end{pmatrix} $$

따라서 주어진 행렬은 \( 2n \times 2n \) 행렬이지만 그 rank가 \( n \) 이하이므로 행렬식이 \( 0 \)이다.